流動

ハーゲン・ポアズイユ流れ（円管内層流の速度分布）

十分に発達した円管内の層流では、速度分布が放物線になります。管内径と平均流速（または体積流量）から、最大流速 umax = 2U・各半径位置の流速・圧力損失・壁面せん断応力を求め、速度分布グラフを描画します。

入力

u(r)rumaxdRL管長（ΔP を求める区間）
r は管の中心から測った距離で、中心が r = 0、管壁が r = R（= d/2）です。管壁から測った距離ではありません。

円管の内径 d（半径 R = d/2）。

平均流速 U と体積流量 Q は Q = U·A の関係。どちらで指定しても残りは自動換算します。

断面平均流速。最大流速はこの 2 倍（umax = 2U）になります。

体積流量。平均流速 U = Q/A に換算して計算します。

指定すると、その位置の流速 u(r) を求めます（r = 0 が中心、r = R が管壁）。「×R」を選ぶと r/R の比で入力できます。

入力すると壁面せん断応力 τw を、管長 L も入れると圧力損失 ΔP を計算します。水20°Cなら約 1.0 mPa·s。

粘度 μ と合わせて、ハーゲン・ポアズイユの式から圧力損失 ΔP を計算します。

粘度 μ と合わせてレイノルズ数 Re を計算し、層流かどうかを確認します。水なら約 1000。

計算結果

入力値を入れて「計算する」を押してください

計算式

直径 d = 2R の円管内を流れが層流・定常で、十分に発達した状態（流速が軸方向に変化しない状態）になると、軸方向の流速 ux は中心からの距離 r だけで決まる放物線状の分布になります。これがハーゲン・ポアズイユ流れです。

速度分布

$$ u_x(r) = \dfrac{2Q}{\pi R^2}\left(1-\dfrac{r^2}{R^2}\right) = u_{\max}\left(1-\dfrac{r^2}{R^2}\right) $$

管壁（r = R）では粘着条件により ux(R) = 0、円管中央（r = 0）で最大流速 umax になります。断面平均流速 U とは次の関係があります。

$$ U = \dfrac{Q}{\pi R^2},\qquad u_{\max} = u_x(0) = \dfrac{2Q}{\pi R^2} = 2U $$

体積流量と圧力勾配

体積流量 Q は軸方向の圧力勾配 ∂p/∂x に比例し、粘度 μ に反比例します（圧力勾配 ∂p/∂x の値は負）。

$$ Q = \dfrac{\pi R^4}{8\mu}\left(-\dfrac{\partial p}{\partial x}\right) $$

長さ L の管での圧力損失 ΔP、壁面せん断応力 τw は次のように書けます。

$$ \Delta P = \dfrac{8\mu L Q}{\pi R^4},\qquad \tau_w = \dfrac{R}{2}\left(-\dfrac{\partial p}{\partial x}\right) = \dfrac{4\mu U}{R} $$

適用範囲と注意事項

層流・定常で十分に発達した円管内の流れを前提にした計算です。

参考資料

書籍

明解入門 流体力学（第2版）

杉山 弘・松村 昌典・河合 秀樹・風間 俊治 著 / 森北出版

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