流動

ハーゲン・ポアズイユ流れ（円管内層流の速度分布）

十分に発達した円管内の層流では、速度分布が放物線になります。管内径と平均流速（または体積流量）から、最大流速 u_max = 2U・各半径位置の流速・圧力損失・壁面せん断応力を求め、速度分布グラフを描画します。

入力

管内径 d

円管の内径 d（半径 R = d/2）。

基準量

平均流速 U と体積流量 Q は Q = U·A の関係。どちらで指定しても残りは自動換算します。

断面平均流速 U

断面平均流速。最大流速はこの 2 倍（u_max = 2U）になります。

体積流量 Q

体積流量。平均流速 U = Q/A に換算して計算します。

半径位置 r任意

指定すると、その位置の流速 u(r) を求めます（r = 0 が中心、r = R が管壁）。「×R」を選ぶと r/R の比で入力できます。

流体粘度 μ任意

入力すると壁面せん断応力 τ_w を、管長 L も入れると圧力損失 ΔP を計算します。水20℃なら約 1.0 mPa·s。

管長 L任意

粘度 μ と合わせて、ハーゲン・ポアズイユの式から圧力損失 ΔP を計算します。

流体密度 ρ任意

粘度 μ と合わせてレイノルズ数 Re を計算し、層流かどうかを確認します。水なら約 1000。

入力値を入れて「計算する」を押してください

直径 d = 2R の円管内を流れが層流・定常で、十分に発達した状態（流速が軸方向に変化しない状態）になると、軸方向の流速 u_x は中心からの距離 r だけで決まる放物線状の分布になります。これがハーゲン・ポアズイユ流れです。

u_x(r) = \dfrac{2Q}{\pi R^2}\left(1-\dfrac{r^2}{R^2}\right) = u_{\max}\left(1-\dfrac{r^2}{R^2}\right)

管壁（r = R）では粘着条件により u_x(R) = 0、円管中央（r = 0）で最大流速 u_max になります。断面平均流速 U とは次の関係があります。

U = \dfrac{Q}{\pi R^2},\qquad u_{\max} = u_x(0) = \dfrac{2Q}{\pi R^2} = 2U

体積流量 Q は軸方向の圧力勾配 ∂p/∂x に比例し、粘度 μ に反比例します（圧力勾配 ∂p/∂x の値は負）。

Q = \dfrac{\pi R^4}{8\mu}\left(-\dfrac{\partial p}{\partial x}\right)

長さ L の管での圧力損失 ΔP、壁面せん断応力 τ_w は次のように書けます。

\Delta P = \dfrac{8\mu L Q}{\pi R^4},\qquad \tau_w = \dfrac{R}{2}\left(-\dfrac{\partial p}{\partial x}\right) = \dfrac{4\mu U}{R}

放物線状の速度分布は層流でのみ成り立ちます。円管の臨界レイノルズ数はおよそ Re = 2300 で、これを超えると乱流に遷移し、断面の速度分布は中央が平坦化します（密度 ρ を入力すると Re を確認できます）。
「十分に発達した」流れを前提とします。入口付近の助走区間では速度分布が発達途中で、本ツールの分布とは異なります。
非圧縮性・ニュートン流体・一定断面の直管を前提としています。
最大流速は平均流速のちょうど 2 倍（u_max = 2U）です。流速計測の代表点として、平均流速に等しくなるのは r/R ≒ 0.707 の位置です。

はじめての流体力学

上野和之著 / 講談社